常用三角函数公式汇总

1. 三角形基本定理与面积公式

• 正弦定理： (其中 $R$ 为外接圆半径)

  $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

• 余弦定理：

  $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

  $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$

  $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

• 三角形面积公式：

  • 基本形式： $S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B$

  • 海伦公式： $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中 $p = \frac{a+b+c}{2}$

  • 外接圆形式： $S = \frac{abc}{4R}$

  • 内切圆形式： $S = pr$，其中 $r$ 为内切圆半径

2. 基础关系与辅助角公式

• 辅助角公式：

  $$A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t) = \sqrt{A^2 + B^2} \cos\left(\omega_0 t - \arctan\frac{B}{A}\right)$$

• 平方关系：

  $$\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha$$

  $$\cot^2 \alpha + 1 = \csc^2 \alpha$$

3. 倍角公式与降幂公式

• 二倍角公式：

  $$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$$

  $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$$

• 降幂公式：

  $$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}, \quad \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

4. 和差角公式

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

5. 积化和差

$$\begin{aligned} \sin \alpha \sin \beta &= \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{2} &\sin \alpha \cos \beta &= \frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{2}\\ \cos \alpha \cos \beta &= \frac{\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)}{2} &\cos \alpha \sin \beta &= \frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}{2} \end{aligned}$$

6. 和差化积

$$\begin{aligned} \sin \alpha + \sin \beta &= 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} &\sin \alpha - \sin \beta &= 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \\ \cos \alpha + \cos \beta &= 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} &\cos \alpha - \cos \beta &= -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \end{aligned}$$