微分中值定理

1. 微分中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续, $(a,b)$ 内可导，$\exists \xi \in (a,b)$

定理名称	条件	结论
罗尔定理	$f(a)=f(b)$	$f'(\xi)=0$
拉格朗日中值定理	无额外条件	$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
柯西中值定理	$F'(x) \neq 0$	$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$

2. 导数应用

2.1. 单调性判定

• 若 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在区间内单调递增
• 若 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在区间内单调递减

2.2. 极值判定

判定准则	条件	结论
极值的必要条件	$f'(x_0)$ 存在且 $x_0$ 为极值点	$f'(x)=0$
极值的第一充分条件	$f'(x)$ 在 $x_0$ 左侧 $>0$, 右侧 $<0$	$x_0$ 为 极大值点
	$f'(x)$ 在 $x_0$ 左侧 $<0$, 右侧 $>0$	$x_0$ 为 极小值点
	$f'(x)$ 在 $x_0$ 左右两侧符号相同	不为 极值点
极值的第二充分条件	$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0) < 0$	$x_0$ 为 极大值点
	$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0) > 0$	$x_0$ 为 极小值点
无法判定	$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)=0$	不能判定 $x_0$ 是否为极值点
	$f'(x_0)$ 不存在	不能判定 $x_0$ 是否为极值点

2.3. 函数的最值

定义 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若存在 $x_0 \in I$，使得对于任意 $x \in I$，恒有：

• 最大值：$f(x) \le f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的最大值。
• 最小值：$f(x) \ge f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的最小值。

求连续函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的最大最小值

1. 求出 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的驻点和不可导的点 $x_1, x_2, \ldots, x_n$
2. 求出 $f(x)$ 在点 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 和区间端点 $a,b$ 处的函数值

$$f(x_1), f(x_2), \ldots, f(x_n), f(a), f(b)$$

3. 比较以上各点函数值，其中最大的即为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最大值，最小的即为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值

2.4. 凹凸性判定

曲线形态	二阶导数条件 $f''(x)$	定义式 (弦与弧的关系)
凹	$f''(x) > 0$	$f(\frac{x_1+x_2}{2}) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
凸	$f''(x) < 0$	$f(\frac{x_1+x_2}{2}) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

2.5. 拐点判定

提示

判定拐点的候选点是 二阶导数为 0 的点 或 二阶导数不存在的点

判定准则	条件	结论
拐点必要条件	$f''(x_0)$ 存在且 $x_0$ 是拐点	$f''(x_0) = 0$
拐点的第一充分条件	$f''(x)$ 在 $x_0$ 左右两侧异号	$(x_0, f(x_0))$ 为拐点
	$f''(x)$ 在 $x_0$ 左右两侧同号	$(x_0, f(x_0))$ 不为拐点
拐点的第二充分条件	$f''(x_0)=0$ 且 $f'''(x_0) \neq 0$	$(x_0, f(x_0))$ 为拐点
无法判定	$f''(x_0)=0$ 且 $f'''(x_0)=0$	不能判定 $x_0$ 是否为拐点
	$f''(x_0)$ 不存在	不能判定 $x_0$ 是否为拐点

2.6. 渐近线

渐近线类型	计算方法
铅直渐近线	若 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$，则 $x = x_0$ 为铅直渐近线
水平渐近线	若 $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A$，则 $y = A$ 为水平渐近线
斜渐近线	$a = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$b = \lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - ax]$，则 $y = ax + b$ 为斜渐近线

2.7. 曲线的弧微分与曲率

定义 设 $y=f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有连续导数，则有弧微分

$$\mathrm{d}s = \sqrt{1 + y'^2} \mathrm{d}x$$

定义 设 $y=f(x)$ 有二阶导数，则有曲率

$$K = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}}$$

称 $\rho = \frac{1}{K}$ 为曲率半径