跳至主要內容

极限

大约 4 分钟数学泰勒展开等价无穷小海涅定理误差估计

1. 常用极限

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1，lim⁡x→0ax−1x=ln⁡a\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a，lim⁡n→∞nn=1\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1，lim⁡n→∞an=1(a>0)\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \quad (a > 0)，

lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e，lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim\limits_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e，

若 lim⁡α(x)=0\lim \alpha(x) = 0，limβ(x)=∞lim \beta(x) = \infty，且 lim⁡α(x)β(x)=A\lim \alpha(x)\beta(x) = A，则 lim⁡[1+α(x)]β(x)=eA\lim [1+\alpha(x)]^{\beta(x)} = e^A.

lim⁡x→∞anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0bmxm+bm−1xm−1+⋯+b1x+b0={anbm,n=m0,n<m∞,n>m\lim\limits_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0} = \begin{cases} \frac{a_n}{b_m}, & n = m \\ 0, & n < m \\ \infty, & n > m \end{cases}

lim⁡n→∞xn={0,∣x∣<1∞,∣x∣>11,x=1不存在,x=−1\lim\limits_{n \to \infty} x^n = \begin{cases} 0, & |x| < 1 \\ \infty, & |x| > 1 \\ 1, & x = 1 \\ \text{不存在}, & x = -1 \end{cases}，lim⁡n→∞enx={0,x<0+∞,x>01,x=0\lim\limits_{n \to \infty} e^{nx} = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ +\infty, & x > 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}

lim⁡n→∞a1n+a2n+⋯+amnn=a(ai>0,i=1,2,…,m)\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \dots + a_m^n} = a \quad (a_i > 0, i=1,2,\dots,m)，其中 max⁡{ai}=a\max\{a_i\} = a.

2. 等价无穷小汇总表

函数 f(x)f(x)，当 x→0x \to 0 时等价无穷小
sin⁡x\sin x, tan⁡x\tan x, arcsin⁡x\arcsin x, arctan⁡x\arctan xxx
1+x−1−x\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}xx
ex−1e^x - 1, ln⁡(1+x)\ln(1+x)xx
ax−1a^x - 1xln⁡ax \ln a
(1+x)a−1(1+x)^a - 1axax
1+xa−1\sqrt[a]{1+x} - 11ax(a≠0)\frac{1}{a}x \quad (a \neq 0)
1−cos⁡ax1 - \cos^a xa2x2\frac{a}{2}x^2
x−ln⁡(1+x)x - \ln(1+x)12x2\frac{1}{2}x^2
x−sin⁡xx - \sin x, arcsin⁡x−x\arcsin x - x16x3\frac{1}{6}x^3
tan⁡x−x\tan x - x, x−arctan⁡xx - \arctan x13x3\frac{1}{3}x^3

3. 常用无穷大量比较

对于函数，当 x→+∞x \to +\infty 时，

ln⁡αx≪xβ≪ax(α>0,β>0,a>1)\ln^{\alpha} x \ll x^{\beta} \ll a^x \quad (\alpha > 0, \beta > 0, a > 1)

对于数列，当 n→∞n \to \infty 时，

ln⁡αn≪nβ≪an≪n!≪nn(α>0,β>0,a>1)\ln^{\alpha} n \ll n^{\beta} \ll a^n \ll n! \ll n^n \quad (\alpha > 0, \beta > 0, a > 1)

4. 泰勒公式求极限

带皮亚诺余项的泰勒公式

设 f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 处 nn 阶可导，则

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n)f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)

麦克劳林公式

特别当 x=x0x = x_0 时

f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+o(xn)f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)

常用泰勒公式

  • ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!+o(xn)e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)

  • ln⁡(1+x)=∑n=0∞(−1)nxn+1n+1=x−x22+x33−⋯+(−1)nxn+1n+1+o(xn+1)\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1} + o(x^{n+1})

  • sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=x−x33!+x55!−⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!+o(x2n+2)\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})

  • cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!=1−x22!+x44!−⋯+(−1)nx2n(2n)!+o(x2n+1)\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})

  • arctan⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1=x−x33+x55−⋯+(−1)nx2n+12n+1+o(x2n+2)\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+2})

  • 11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+x3+⋯+xn+o(xn)(∣x∣<1)\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + o(x^n) \quad (|x|<1)

  • 11+x=∑n=0∞(−1)nxn=1−x+x2−x3+⋯+(−1)nxn+o(xn)(∣x∣<1)\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + o(x^n) \quad (|x|<1)

  • (1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+α(α−1)…(a−n+1)n!xn+⋯+o(xn)(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(a-n+1)}{n!}x^n + \dots + o(x^n)

5. 海涅定理（归结原则）

设函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 的某个去心邻域 U˚(x0,δ)\mathring{U}(x_0, \delta) 内有定义，函数极限 lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A 存在的充分必要条件是：对于任何满足以下两个条件的数列{xn}\{x_n\}：

xn≠x0x_n \neq x_0

lim⁡n→∞xn=x0\lim_{n \to \infty} x_n = x_0

对应的函数值数列 {f(xn)}\{f(x_n)\} 极限为 AA，即：

lim⁡n→∞f(xn)=A\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A

提示

海涅定理常用于证明极限不存在，找到两个不同的数列 {xn}\{x_n\} 和 {xn′}\{x_n'\}，它们都趋于 x0x_0，但带入函数后得到的极限值不相等，那么原极限不存在。

6. 拉格朗日余项与误差估计

定义

设 f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 处 n+1n+1 阶可导，则

f(x)=Pn(x)+Rn(x)f(x) = P_n(x) + R_n(x)

其中拉格朗日余项为：

Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1,ξ∈(min⁡(x,x0),max⁡(x,x0))R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, \quad \xi \in (\min(x, x_0), \max(x, x_0))

误差估计实例

估算 sin⁡(35∘)\sin(35^\circ) 的近似值并确定误差（取 n=2n=2，展开点 x0=π6x_0 = \frac{\pi}{6}）

  1. 函数： f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x, x=π6+5π180x = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{180}

  2. 展开： f(x)≈sin⁡(π6)+cos⁡(π6)(5π180)−sin⁡(π6)(5π180)22!≈0.5736712f(x) \approx \sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{6})(\frac{5\pi}{180}) -\frac{\sin(\frac{\pi}{6})(\frac{5\pi}{180})^2}{2!} \approx 0.5736712

  3. 余项： R2(x)=−cos⁡ξ3!(5π180)3,ξ∈(π6,35π180)R_2(x) = \frac{-\cos \xi}{3!}(\frac{5\pi}{180})^3, \quad \xi \in (\frac{\pi}{6}, \frac{35\pi}{180})

  4. 范围： 由于 ∣cos⁡ξ∣=32<0.9|\cos \xi| = \frac{\sqrt{3}}{2} < 0.9，则 ∣R2∣<0.96(0.087266)3≈0.0000997|R_2| < \frac{0.9}{6}(0.087266)^3 \approx 0.0000997

即 sin⁡(35∘)\sin(35^\circ) 约为 0.573670.57367，误差绝对值不超过 0.00010.0001.