不定积分

1. 原函数存在定理

定理 若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一定存在原函数.

定理 若 $f(x)$ 在区间 $I$ 有第一类间断点，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上没有原函数.

2. 不定积分公式

$$\begin{aligned} &\text{(1) } \int 0 \, \mathrm{d}x = C & &\text{(2) } \int (ax+b)^\alpha \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \\ &\text{(3) } \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \ln|x| + C & &\text{(4) } \int a^x \, \mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C \\ &\text{(5) } \int e^x \, \mathrm{d}x = e^x + C & &\text{(6) } \int \sin x \, \mathrm{d}x = -\cos x + C \\ &\text{(7) } \int \cos x \, \mathrm{d}x = \sin x + C & &\text{(8) } \int \sec^2 x \, \mathrm{d}x = \tan x + C \\ &\text{(9) } \int \csc^2 x \, \mathrm{d}x = -\cot x + C & &\text{(10) } \int \sec x \tan x \, \mathrm{d}x = \sec x + C \\ &\text{(11) } \int \csc x \cot x \, \mathrm{d}x = -\csc x + C & &\text{(12) } \int \tan x \, \mathrm{d}x = -\ln|\cos x| + C \\ &\text{(13) } \int \cot x \, \mathrm{d}x = \ln|\sin x| + C & &\text{(14) } \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, \mathrm{d}x = \arcsin\frac{x}{a} + C \\ &\text{(15) } \int \frac{1}{a^2+x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C & &\text{(16) } \int \frac{1}{x^2-a^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C \\ &\text{(17) } \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \, \mathrm{d}x = \ln(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C & &\text{(18) } \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} \, \mathrm{d}x = \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C \\ &\text{(19) } \int \sec x \, \mathrm{d}x = \ln|\sec x + \tan x| + C & &\text{(20) } \int \csc x \, \mathrm{d}x = -\ln|\csc x + \cot x| + C \\ \end{aligned}$$

组合求导公式：

$$\begin{aligned} &\int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{vmatrix} e^{ax} & b\cos(bx) \\ e^{ax} & a\sin(bx) \end{vmatrix} + C \\ &\int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{vmatrix} e^{ax} & -b\sin(bx) \\ e^{ax} & a\cos(bx) \end{vmatrix} + C \\ \end{aligned}$$

3. 三种积分方法

3.1. 第一换元积分法

定理 设 $\int f(u) \, \mathrm{d}u = F(u)+C$, $u=\varphi(x)$ 存在连续导数，则

$$\int f[\varphi(x)] \varphi'(x) \, \mathrm{d}x = \int f[\varphi(x)] \, \mathrm{d}\varphi(x) = F[\varphi(x)] + C$$

常见的凑微分形式：

$\text{(1) } \int f(ax+b) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a} \int f(ax+b) \, \mathrm{d}(ax+b)$

$\text{(2) } \int x^m f(ax^{m+1}+b) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{(m+1)a} \int f(ax^{m+1}+b) \, \mathrm{d}(ax^{m+1}+b) \quad (m \neq -1)$

$\text{(3) } \int f(\sqrt{x}) \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}} = 2 \int f(\sqrt{x}) \, \mathrm{d}(\sqrt{x})$

$\text{(4) } \int f(e^x) e^x \, \mathrm{d}x = \int f(e^x) \, \mathrm{d}(e^x)$

$\text{(5) } \int f(\ln x) \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \int f(\ln x) \, \mathrm{d}(\ln x)$

$\text{(6) } \int f(\sin x) \cos x \, \mathrm{d}x = \int f(\sin x) \, \mathrm{d}(\sin x)$

$\text{(7) } \int f(\cos x) \sin x \, \mathrm{d}x = -\int f(\cos x) \, \mathrm{d}(\cos x)$

$\text{(8) } \int f(\tan x) \frac{1}{\cos^2 x} \, \mathrm{d}x = \int f(\tan x) \, \mathrm{d}(\tan x)$

$\text{(9) } \int f(\arcsin x) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x = \int f(\arcsin x) \, \mathrm{d}(\arcsin x)$

$\text{(10) } \int f(\arctan x) \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \int f(\arctan x) \, \mathrm{d}(\arctan x)$

3.2. 第二换元积分法

定理 设 $x = \varphi(t)$ 是单调的、可导的函数，并且 $\varphi'(t) \neq 0$。又

$$\int f[\varphi(t)]\varphi'(t) \, \mathrm{d}t = F(t) + C$$

则

$$\begin{aligned} \int f(x) \, \mathrm{d}x &= \int f[\varphi(t)]\varphi'(t) \, \mathrm{d}t = F(t) + C \\ &= F[\varphi^{-1}(x)] + C \end{aligned}$$

其中 $\varphi^{-1}(x)$ 是 $x = \varphi(t)$ 的反函数。

常用的三种变量代换：

$\text{(1)}$ 被积函数含有 $\sqrt{a^2 - x^2}$, 令 $x = a\sin t$ (或 $a\cos t$)

$\text{(2)}$ 被积函数含有 $\sqrt{a^2 + x^2}$, 令 $x = a\tan t$

$\text{(3)}$ 被积函数含有 $\sqrt{x^2 - a^2}$, 令 $x = a\sec t$

3.3. 分部积分法

$\text{(1)}$ 分部积分公式

$$\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$$

$\text{(2)}$ 分部积分法所适用的函数类
分部积分法比较适用于两类不同函数相乘。如下列积分，这里 $p_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式：

$$\begin{aligned} &\int p_n(x)e^{ax} \, \mathrm{d}x, & &\int p_n(x)\sin ax \, \mathrm{d}x, & &\int p_n(x)\cos ax \, \mathrm{d}x, & &\int e^{ax}\sin \beta x \, \mathrm{d}x, \\ &\int e^{ax}\cos \beta x \, \mathrm{d}x, & &\int p_n(x)\ln x \, \mathrm{d}x, & &\int p_n(x)\arctan x \, \mathrm{d}x, & &\int p_n(x)\arcsin x \, \mathrm{d}x. \end{aligned}$$

$\text{(3)}$ 分部积分法中 $u, v$ 的选取
分部积分法在使用的关键是 $u, v$ 的选取，换句话说就是把哪个数凑到微分号里去

① $\int p_n(x)e^{ax} \, \mathrm{d}x, \int p_n(x)\sin ax \, \mathrm{d}x, \int p_n(x)\cos ax \, \mathrm{d}x,$ 这 3 种积分都应把多项式以外的函数凑进微分号

② $\int e^{ax}\sin \beta x \, \mathrm{d}x, \int e^{ax}\cos \beta x \, \mathrm{d}x,$ 这 2 种积分把指数函数或三角函数凑进微分号都可以，但把指数凑进去更简单，连续两次将指数函数凑进去分部积分还原便可求解

③ $\int p_n(x)\ln x \, \mathrm{d}x, \int p_n(x)\arctan x \, \mathrm{d}x, \int p_n(x)\arcsin x \, \mathrm{d}x,$ 这 3 种积分都应把多项式函数凑进微分号

4. 三类常见可积函数积分

4.1. 有理函数积分

$$\int R(x) \, \mathrm{d}x$$

两个多项式的商 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 称为有理函数。这里假设 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 没有公因式，由于

$$\text{假分式} = \text{多项式} + \text{真分式}$$

所以，以下假设 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 为真分式，如果分母 $Q(x)$ 可分解为两个多项式的乘积

$$Q(x) = Q_1(x)Q_2(x)$$

则 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 可拆成两个真分式之和

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)} + \frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$$

上述步骤称为把真分式化为部分分式，也就是有理函数积分的一般方法，部分分式法。利用部分分式法总可以把真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 化为以下 4 个基本形式，然后分项积分：

$$\frac{A}{x-a}, \quad \frac{A}{(x-a)^n}, \quad \frac{Ax+b}{x^2+px+q}, \quad \frac{Ax+b}{(x^2+px+q)^n}$$

这里 $p^2-4q < 0$

$\text{(1)}$ 一般方法（部分分式法）
$\text{(2)}$ 特殊方法（加项减项拆或凑微分降幂）

4.2. 三角有理式积分

$$\int R(\sin x, \cos x) \, \mathrm{d}x$$

$\text{(1)}$ 一般方法 (万能代换), 令 $\tan \frac{x}{2} = t$

$$\int R(\sin x, \cos x) \, \mathrm{d}x = \int R\left( \frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) \frac{2}{1+t^2} \, \mathrm{d}t$$

$\text{(2)}$ 特殊方法 (三角变形, 换元, 分部)

几种常用的换元法:
① 若 $R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x),$ 则令 $u = \cos x,$ 或凑 $\mathrm{d}\cos x$
② 若 $R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x),$ 则令 $u = \sin x,$ 或凑 $\mathrm{d}\sin x$
③ 若 $R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x),$ 则令 $u = \tan x,$ 或凑 $\mathrm{d}\tan x$

4.3. 简单无理函数积分

$$\int R\left( x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right) \, \mathrm{d}x$$

令 $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} = t,$ 将其化为有理函数积分进行计算