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导数

大约 3 分钟数学导数求导法

1. 基本初等函数导数公式

(1) (C)′=0(2) (xn)′=nxn−1(3) (ax)′=axln⁡a(4) (ex)′=ex(5) (log⁡ax)′=1xln⁡a(6) (ln⁡x)′=1x(7) (sin⁡x)′=cos⁡x(8) (cos⁡x)′=−sin⁡x(9) (tan⁡x)′=sec⁡2x(10) (cot⁡x)′=−csc⁡2x(11) (sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(12) (csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(13) (arcsin⁡x)′=11−x2(14) (arccos⁡x)′=−11−x2(15) (arctan⁡x)′=11+x2(16) (arccot x)′=−11+x2\begin{aligned} &\text{(1) } (C)' = 0 & &\text{(2) } (x^n)' = nx^{n-1} \\ &\text{(3) } (a^x)' = a^x \ln a & &\text{(4) } (e^x)' = e^x \\ &\text{(5) } (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} & &\text{(6) } (\ln x)' = \frac{1}{x} \\ &\text{(7) } (\sin x)' = \cos x & &\text{(8) } (\cos x)' = -\sin x \\ &\text{(9) } (\tan x)' = \sec^2 x & &\text{(10) } (\cot x)' = -\csc^2 x \\ &\text{(11) } (\sec x)' = \sec x \tan x & &\text{(12) } (\csc x)' = -\csc x \cot x \\ &\text{(13) } (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} & &\text{(14) } (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ &\text{(15) } (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} & &\text{(16) } (\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1+x^2} \end{aligned}

2. 求导法则

提示

若 f(x)f(x) 是奇函数，则 f′(x)f'(x) 是偶函数
若 f(x)f(x) 是偶函数，则 f′(x)f'(x) 是奇函数。另外若在 x=0x=0 处可导，则 f′(x)=0f'(x)=0
若 f(x)f(x) 是周期函数，则 f′(x)f'(x) 也是周期函数

2.1. 有理运算法则

若 u=u(x),v=v(x)u=u(x), v=v(x) 在 xx 处可导，则：

  • (u±v)′=u′±v′(u \pm v)' = u' \pm v'

  • (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'

  • (uv)′=u′v−uv′v2(v≠0)(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)

2.2. 复合函数求导法（链式法则）

若 u=g(x)u=g(x) 在 xx 处可导，y=f(u)y=f(u) 在对应点可导，则复合函数 y=f[g(x)]y = f[g(x)] 在 xx 处可导，且：

dydx=dydu⋅dudx=f′(u)⋅g′(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = f'(u) \cdot g'(x)

2.3. 隐函数求导法

对于方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0 确定的隐函数：

  • 求导步骤： 方程两端同时对 xx 求导（注意 yy 是 xx 的函数，需使用复合函数求导法），然后解出 y′y'.

  • 公式法： dydx=−Fx′Fy′\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{F'_x}{F'_y}

2.4. 反函数的导数

若函数 y=f(x)y=f(x) 及其反函数 x=f−1(y)x=f^{-1}(y) 皆可导，则：

dxdy=1dydx或(f−1)′(y)=1f′(x)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}} \quad \text{或} \quad (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}

2.5. 参数方程求导法

若 {x=φ(t)y=ψ(t)\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}，则：

  • 一阶导数： dydx=ψ′(t)φ′(t)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}

  • 二阶导数： d2ydx2=ddt(dydx)dxdt=ddt(dydx)φ′(t)=ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t)[φ′(t)]3\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)}{\varphi'(t)} = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}

2.6. 对数求导法

当函数 y=f(x)y = f(x) 表现为多个因子的乘除、乘方或是幂指函数（底数和指数均含 xx）时，先取对数再求导会更加简便。

  1. 取对数： 两端取绝对值并取自然对数：ln⁡∣y∣=ln⁡∣f(x)∣\ln |y| = \ln |f(x)|。
  2. 拆解： 利用对数性质展开右边：
    • ln⁡(uv)=ln⁡u+ln⁡v\ln(uv) = \ln u + \ln v
    • ln⁡(u/v)=ln⁡u−ln⁡v\ln(u/v) = \ln u - \ln v
    • ln⁡(uk)=kln⁡u\ln(u^k) = k \ln u
  3. 隐求导： 两端对 xx 求导（注意左端复合）：1y⋅y′=[ln⁡∣f(x)∣]′\frac{1}{y} \cdot y' = [\ln |f(x)|]'。
  4. 还旧： 整理得出 y′=y⋅[ln⁡∣f(x)∣]′y' = y \cdot [\ln |f(x)|]'，最后将 yy 替换回原解析式。

2.7. 变限积分求导法

若函数 f(t)f(t) 在区间内连续，且积分上下限均是关于 xx 的可导函数，则积分对 xx 的导数遵循以下规律。

  • 基本形式（牛顿-莱布尼茨公式推广）：

    ddx∫axf(t)dt=f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t = f(x)

  • 通用复合公式：

    ddx∫α(x)β(x)f(t)dt=f[β(x)]⋅β′(x)−f[α(x)]⋅α′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t) \mathrm{d}t = f[\beta(x)] \cdot \beta'(x) - f[\alpha(x)] \cdot \alpha'(x)

重要

注意变量分离，若被积函数含 xx（如 ∫0x(x−t)f(t)dt\int_0^x (x-t)f(t)\mathrm{d}t），严禁直接求导。必须先通过换元（令 u=x−tu=x-t）或拆分积分项将 xx 移出积分号。

3. 常用高阶导数公式

(1)(ax)(n)=ax(ln⁡a)n(2)(u±v)(n)=u(n)±v(n)(3)(sin⁡kx)(n)=knsin⁡(kx+n⋅π2)(4)(cos⁡kx)(n)=kncos⁡(kx+n⋅π2)(5)(1ax+b)(n)=(−1)nn!an(ax+b)n+1(6)(uv)(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)\begin{aligned} (1) & \quad (a^x)^{(n)} = a^x (\ln a)^n & (2) & \quad (u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} \\ (3) & \quad (\sin kx)^{(n)} = k^n \sin(kx + n \cdot \frac{\pi}{2}) & (4) & \quad (\cos kx)^{(n)} = k^n \cos(kx + n \cdot \frac{\pi}{2}) \\ (5) & \quad (\frac{1}{ax+b})^{(n)} = \frac{(-1)^n n! a^n}{(ax+b)^{n+1}} & (6) & \quad (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} \end{aligned}