定积分和反常积分

1. 定积分

1.1. 定积分存在的充分条件

定理 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 必定存在.

定理 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 必定存在.

定理 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上只有有限个第一类间断点，则 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 必定存在.

1.2. 不等式

$\text{(1) }$ 若在区间 $[a, b]$ 上 $f(x) \leqslant g(x)$，则

$$\int_{a}^{b} f(x) dx \leqslant \int_{a}^{b} g(x) dx$$

$\text{(2) }$ 若 $M$ 及 $m$ 分别是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最大值和最小值，则

$$m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b} f(x) dx \leqslant M(b-a)$$

$\text{(3) }$ 绝对值不等式

$$\left|\int_{a}^{b} f(x) dx\right| \leqslant \int_{a}^{b} |f(x)| dx$$

1.3. 中值定理

$\text{(1) }$ 积分中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得：

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = f(\xi)(b - a) \quad (a < \xi < b)$$

常称 $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$ 称为函数 $y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值。

$\text{(2) }$ 广义积分中值定理

若 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$g(x)$ 在区间内不变号，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得：

$$\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) dx \quad (a \leqslant \xi \leqslant b)$$

1.4. 定积分公式

$\text{(1) }$ 奇偶性
设 $f(x)$ 为 $[-a, a]$ 上的连续函数 ($a > 0$)，则

$$\int_{-a}^{a} f(x) dx = \begin{cases} 0, & f(x) \text{ 为奇函数时}, \\ 2 \int_{0}^{a} f(x) dx, & f(x) \text{ 为偶函数时}. \end{cases}$$

$\text{(2) }$ 周期性
设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则对任给数 $a$，总有

$$\int_{a}^{a+T} f(x) dx = \int_{0}^{T} f(x) dx$$

$\text{(3) }$ 华里士公式

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \dots \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 为正偶数}, \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \dots \cdot \frac{2}{3}, & n \text{ 为大于 1 的奇数}. \end{cases}$$

$$\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$$

$\text{(4) }$ 华里士公式的推广 (区间再现)

$$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx \quad \text{(其中 } f(x) \text{ 连续)}$$

2. 反常积分

$\text{(1) }$ $P$-判别法

考察点在 $0$ 附近:

$$\int_0^a \frac{1}{x^p} dx \implies \begin{cases} p < 1, & \text{收敛} \\ p \geqslant 1, & \text{发散} \end{cases}$$

考察点在 $+\infty$ 附近:

$$\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \implies \begin{cases} p > 1, & \text{收敛} \\ p \leqslant 1, & \text{发散} \end{cases}$$

$\text{(2) }$ 广义 $P$-判别法

考察点在 $0$ 附近:

$$\int_0^a \frac{1}{x^\alpha \ln^\beta x} dx \implies \begin{cases} \alpha < 1, & \text{收敛} \\ \alpha = 1, & \beta > 1 \text{ 时收敛} \\ \alpha > 1, & \text{发散} \end{cases}$$

考察点在 $+\infty$ 附近:

$$\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha \ln^\beta x} dx \implies \begin{cases} \alpha > 1, & \text{收敛} \\ \alpha = 1, & \beta > 1 \text{ 时收敛} \\ \alpha < 1, & \text{发散} \end{cases}$$

提示

对于考察点为 $-\infty$ 的情况，可以做一个换元，令 $u = -x$，那么当 $x \to -\infty$ 时，$u \to +\infty$